Es sei ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)=\mathbb {Z} [x]}$. Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Sei zuerst ${\displaystyle {}q=5}$. Hier ist über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$

${\displaystyle {}(X-1)(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)=X^{5}-1=(X-1)^{5}\,}$

und somit ${\displaystyle {}X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-1)^{4}}$. Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von ${\displaystyle {}(5)}$ und dessen Restklassenkörper ist ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$, der Trägheitsgrad ist also ${\displaystyle {}1}$ und der Verzweigungsindex ist ${\displaystyle {}4}$.

Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen ${\displaystyle {}q\neq 5}$ versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei

${\displaystyle {}v=x-x^{2}-x^{3}+x^{4}\,.}$

Eine direkte Rechnung (siehe Beispiel) zeigt ${\displaystyle {}v^{2}=5}$, d.h. es liegt ein Zwischenring

${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]\subset \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]=\mathbb {Z} [x^{3}+x^{2}]=S\subset \mathbb {Z} [x]\,}$

vor, wobei der Ganzheitsring zu ${\displaystyle {}{\sqrt {5}}}$ mit Fakt bestimmt wurde.

Für

${\displaystyle {}q=1,4\mod 5\,}$

ist ${\displaystyle {}5}$ ein Quadrat modulo ${\displaystyle {}q}$. Über diesen Primzahlen liegen in ${\displaystyle {}S}$ zwei Primideale, beide mit dem Restekörper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(q)}$ und dem Trägheitsgrad ${\displaystyle {}1}$. Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad ${\displaystyle {}2}$. Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von ${\displaystyle {}q}$ ab.

Bei ${\displaystyle {}q=11}$ sind ${\displaystyle {}1,3,4,5,9}$ fünfte Einheitswurzeln in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(11)}$ und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung

${\displaystyle {}X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-3)(X+2)(X-4)(X-5)\,.}$

Über ${\displaystyle {}(11)}$ liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad ${\displaystyle {}1}$. Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen ${\displaystyle {}q}$ mit ${\displaystyle {}q=1\mod 5}$ nach Fakt.

Bei ${\displaystyle {}q=4\mod 5}$ gibt es nur die ${\displaystyle {}1}$ als fünfte Einheitswurzel und es gilt

${\displaystyle X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1={\left(X^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}X+1\right)}{\left(X^{2}-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}X+1\right)}\,,}$

wobei für ${\displaystyle {}{\sqrt {5}}}$ eine Quadratwurzel von ${\displaystyle {}5}$ aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(q)}$ einzusetzen ist. Bei ${\displaystyle {}q=19}$ ist beispielsweise ${\displaystyle {}9^{2}=5}$ und daher ist

${\displaystyle X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1={\left(X^{2}+5X+1\right)}{\left(X^{2}+15X+1\right)}\,.}$

Bei ${\displaystyle {}q=3\mod 5}$