Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl ${\displaystyle {}e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}}$ erzeugt. Er hat aufgrund von Fakt die Gestalt

${\displaystyle {}K_{5}\cong \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}\,,}$

wobei die Variable ${\displaystyle {}X}$ als ${\displaystyle {}e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}}$ (oder eine andere primitive Einheitswurzel) zu interpretieren ist. Sei ${\displaystyle {}x=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}}$ und setze ${\displaystyle {}v=x-x^{2}-x^{3}+x^{4}=-{\left(2x^{3}+2x^{2}+1\right)}}$. Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}v^{2}&=4x^{6}+4x^{4}+1+8x^{5}+4x^{3}+4x^{2}\\&=4x+4x^{4}+1+8+4x^{3}+4x^{2}\\&=5+4{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)}\\&=5.\end{aligned}}}$

Es ist also ${\displaystyle {}v={\sqrt {5}}}$ (die positive Wurzel) und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\subset K_{5}\,.}$