Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt

Es sei ${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ der ${}n$ -te Kreisteilungsring. Dann sind für eine ungerade Primzahl ${}q$ folgende Aussagen äquivalent.

${}n$ ist ein Teiler von ${}q-1$ .

${}q=1\mod n$ .

In ${}\mathbb {Z} /(q)$ gibt es ${}n$ ${}n$ -te Einheitswurzeln.

Das Polynom ${}X^{n}-1$ zerfällt über ${}\mathbb {Z} /(q)$ in verschiedene Linearformen.

Das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{n}$ zerfällt über ${}\mathbb {Z} /(q)$ in verschiedene Linearformen.

Über ${}(q)$ liegen ${}{\varphi (n)}$ Primideale von ${}R_{n}$ .

Das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{n}$ hat eine Nullstelle in ${}\mathbb {Z} /(q)$ und ${}q$ ist nicht verzweigt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

This article is issued from Wikiversity. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.