Nach Voraussetzung und nach Fakt besitzt die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}}$ einen nichttrivalen Kern. Sie ist also nicht injektiv und nach Fakt auch nicht surjektiv. Daher ist

${\displaystyle {}B:=\operatorname {bild} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}\subset V\,}$

ein echter Unterraum von ${\displaystyle {}V}$. Es gibt dann auch einen Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subset V}$ der Dimension ${\displaystyle {}n-1}$, der ${\displaystyle {}B}$ enthält. Zu ${\displaystyle {}u\in U}$ gehört wegen

${\displaystyle {}\varphi (u)=\lambda u+(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V})u\in U+B\subseteq U\,}$

das Bild zu ${\displaystyle {}U}$, d.h. ${\displaystyle {}U}$ ist ${\displaystyle {}\varphi }$-invariant.