Nach Fakt ist ${\displaystyle {}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}}$ endlich. Wir setzen ${\displaystyle {}m={\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}}$ und ${\displaystyle {}n=\operatorname {grad} _{K}L}$ und müssen ${\displaystyle {}m\leq n}$ zeigen. Nehmen wir also ${\displaystyle {}m>n}$ an. Es sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ eine ${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}L}$ und die Elemente in der Galoisgruppe seien ${\displaystyle {}\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}}$. Wir betrachten die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})&\cdots &\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})&\cdots &\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}.}$

Ihr Rang ist maximal gleich ${\displaystyle {}n}$, da sie nur ${\displaystyle {}n}$ Zeilen besitzt. Daher gibt es eine nichttriviale Relation zwischen den ${\displaystyle {}m}$ Spalten, sagen wir

${\displaystyle {}b_{1}{\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})\end{pmatrix}}+\cdots +b_{m}{\begin{pmatrix}\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}=0\,,}$

wobei nicht alle ${\displaystyle {}b_{j}}$ gleich ${\displaystyle {}0}$ sind. Wir betrachten nun

${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j},}$

wobei wir die Automorphismen ${\displaystyle {}\varphi _{j}}$ als Charaktere von ${\displaystyle {}L^{\times }}$ nach ${\displaystyle {}L^{\times }}$ auffassen. Für ein beliebiges Element ${\displaystyle {}v\in L}$ schreiben wir ${\displaystyle {}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}}$. Mit diesen Bezeichnungen gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}(v)&={\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\varphi _{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=0,\end{aligned}}}$

da ja wegen der obigen linearen Abhängigkeit die Zeilensummen ${\displaystyle {}\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})=0}$ sind für jedes ${\displaystyle {}i}$. Also liegt eine nicht-triviale Relation zwischen Charakteren vor, was nach Fakt nicht sein kann.