Endliche Algebra/Separabel/Ableitung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Polynom ${}P\in K[X]$ heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper ${}K\subseteq L$ mehrfache Nullstellen besitzt.

Definition

Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt separabel, wenn für jedes Element ${}x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A=K[X]/(F)$ mit einem normierten Polynom ${}F\in K[X]$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}F$ und ${}F'$ erzeugen das Einheitsideal.

Zu jeder Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ besitzt ${}F$ in ${}L$ nur einfache Nullstellen.

Zu jeder Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist ${}A\otimes _{K}L=L[X]/(F)$ reduziert.

${}A=L_{1}\times \cdots \times L_{m}$ ist ein Produkt von Körpern ${}L_{j}$ und die Körpererweiterungen ${}K\subseteq L_{j}$ sind separabel.

Beweis

Körper/Monogene Algebra/Reduziert/Charakterisierung/Fakt/Beweis

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Definition

Ein Körper ${}K$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom ${}P\in K[X]$ separabel ist.

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