Wir betrachten den lokalen Ring

${\displaystyle {}R=K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}/(XY,XZ)\,,}$

der geometrisch aus einer Ebene und einer Geraden besteht. Für die Potenzen des maximalen Ideals ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X,Y,Z)}$ gilt

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{n}=(X^{n})+(Y,Z)^{n}\,,}$

da ja sämtliche Monome, in denen neben ${\displaystyle {}X}$ noch eine weitere Variable vorkommt, gleich ${\displaystyle {}0}$ sind. Somit gilt für die Restklassenräume

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}=K\langle X^{n},Y^{n},Y^{n-1}Z,\ldots ,Z^{n}\rangle \,}$

und dessen ${\displaystyle {}K}$-Dimension ist ${\displaystyle {}n+2}$. Somit ist die Hilbert-Samuel-Funktion des Ringes gleich ${\displaystyle {}H_{R}(n)=n+2}$ und die Hilbert-Samuel-Multiplizität des Ringes ist ${\displaystyle {}1}$. Der Ring ist aber nicht regulär.