Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale ${\displaystyle {}0\subset {\mathfrak {m}}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${\displaystyle {}R}$ ist ein diskreter Bewertungsring.
2. ${\displaystyle {}R}$ ist ein Hauptidealbereich.
3. ${\displaystyle {}R}$ ist faktoriell.
4. ${\displaystyle {}R}$ ist normal.
5. ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ ist ein Hauptideal.