${\displaystyle {}(1)\Rightarrow (2)}$ folgt direkt aus der Definition.

${\displaystyle {}(2)\Rightarrow (3)}$ folgt aus Fakt.

${\displaystyle {}(3)\Rightarrow (4)}$ folgt aus Fakt.

${\displaystyle {}(4)\Rightarrow (5)}$. Sei ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {m}}}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$. Dann ist ${\displaystyle {}R/(f)}$ ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal (nämlich ${\displaystyle {}{\tilde {\mathfrak {m}}}={\mathfrak {m}}R/(f)}$). Daher gibt es nach Fakt ein ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle {}{\tilde {\mathfrak {m}}}^{n}=0}$. Zurückübersetzt nach ${\displaystyle {}R}$ heißt das, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{n}\subseteq (f)}$ gilt. Wir wählen ${\displaystyle {}n}$ minimal mit den Eigenschaften

${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}\subseteq (f)\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {m}}^{n-1}\not \subseteq (f).}$

Wähle ${\displaystyle g\in {\mathfrak {m}}^{n-1}}$ mit ${\displaystyle g\not \in (f)}$ und betrachte

${\displaystyle {}h:={\frac {f}{g}}\in Q(R)\,}$

(es ist ${\displaystyle {}g\neq 0}$). Das Inverse, also ${\displaystyle {}h^{-1}={\frac {g}{f}}}$, gehört nicht zu ${\displaystyle {}R}$, sonst wäre ${\displaystyle {}g\in (f)}$. Da ${\displaystyle {}R}$ nach Voraussetzung normal ist, ist ${\displaystyle {}h^{-1}}$ auch nicht ganz über ${\displaystyle {}R}$. Nach dem Modulkriterium Fakt für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}\subset R}$ die Beziehung

${\displaystyle {}h^{-1}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}\,}$

ist. Nach Wahl von ${\displaystyle {}g}$ ist aber auch

${\displaystyle {}h^{-1}{\mathfrak {m}}={\frac {g}{f}}{\mathfrak {m}}\subseteq {\frac {{\mathfrak {m}}^{n}}{f}}\subseteq R\,.}$

Daher ist ${\displaystyle {}h^{-1}{\mathfrak {m}}}$ ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$, das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist ${\displaystyle {}h^{-1}{\mathfrak {m}}=R}$. Das heißt einerseits ${\displaystyle {}h\in {\mathfrak {m}}}$ und andererseits gilt für ein beliebiges ${\displaystyle {}x\in {\mathfrak {m}}}$ die Beziehung ${\displaystyle {}h^{-1}x\in R}$, also ${\displaystyle {}x=h(h^{-1}x)}$, also ${\displaystyle {}x\in (h)}$ und somit ${\displaystyle {}(h)={\mathfrak {m}}}$.

${\displaystyle {}(5)\Rightarrow (1)}$. Sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(\pi )}$. Dann ist ${\displaystyle {}\pi }$ ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Sei ${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$ keine Einheit. Dann ist ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {m}}}$ und daher ${\displaystyle {}f=\pi g_{1}}$. Dann ist ${\displaystyle {}g_{1}}$ eine Einheit oder ${\displaystyle {}g_{1}\in {\mathfrak {m}}}$. Im zweiten Fall ist wieder ${\displaystyle {}g_{1}=\pi g_{2}}$ und ${\displaystyle {}f=\pi ^{2}g_{2}}$.

Wir behaupten, dass man ${\displaystyle {}f=\pi ^{k}u}$ mit einem ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} }$ und einer Einheit ${\displaystyle {}u}$ schreiben kann. Andernfalls könnte man ${\displaystyle {}f=\pi ^{n}g_{n}}$ mit beliebig großem ${\displaystyle {}n}$ schreiben. Nach Fakt gibt es ein ${\displaystyle {}m\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle {}(\pi ^{m})={\mathfrak {m}}^{m}\subseteq (f)}$. Bei ${\displaystyle {}n\geq m+1}$ ergibt sich ${\displaystyle {}\pi ^{m}=af=a\pi ^{m+1}b}$ und der Widerspruch ${\displaystyle {}1=ab\pi }$.

Es lässt sich also jede Nichteinheit ${\displaystyle {}\neq 0}$ als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist ${\displaystyle {}R}$ faktoriell. Für ein beliebiges Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{s})}$ ist ${\displaystyle {}f_{i}=\pi ^{n_{i}}u_{i}}$ mit Einheiten ${\displaystyle {}u_{i}}$. Dann sieht man leicht, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(\pi ^{n})}$ ist mit ${\displaystyle {}n=\min _{i}\{n_{i}\}}$.