Es sei

${\displaystyle {}S\cong R\oplus V\,}$

mit einem ${\displaystyle {}R}$-Modul ${\displaystyle {}V}$. Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Primideal von ${\displaystyle {}R}$. Nach Aufgabe und nach Aufgabe sind auch

${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}=R_{\mathfrak {p}}\oplus V_{\mathfrak {p}}}$

und

${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}/{\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}S_{R\setminus {\mathfrak {p}}}=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\oplus V_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}V_{\mathfrak {p}}}$

direkte Summanden. Daher ist insbesondere der Ring rechts nicht ${\displaystyle {}0}$ und somit ist nach Fakt  (6) und nach Fakt die Faser über ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ nicht leer.