Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Erste Eigenschaften/Fakt

Für das Spektrum ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ gelten folgende Eigenschaften.

Es ist ${}D(T)=D({\mathfrak {a}})$ , wobei ${}{\mathfrak {a}}$ das durch ${}T$ erzeugte Ideal (Radikal) in ${}R$ sei. Man kann sich also bei der Beschreibung der offenen Teilmengen auf die Radikale von ${}R$ beschränken.

Für eine Familie ${}{\mathfrak {a}}_{i}$ , ${}i\in I$ , von Idealen in ${}R$ ist
${}\bigcup _{i\in I}D({\mathfrak {a}}_{i})=D{\left(\sum _{i\in I}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}\,.$

Für eine endliche Familie ${}{\mathfrak {a}}_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ , von Idealen in ${}R$ ist
${}\bigcap _{i=1}^{n}D({\mathfrak {a}}_{i})=D{\left(\bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}=D({\mathfrak {a}}_{1}\cdots {\mathfrak {a}}_{n})\,.$

Es ist ${}D({\mathfrak {a}})=X$ genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ das Einheitsideal ist.

Es ist ${}D({\mathfrak {a}})\subseteq D({\mathfrak {b}})$ genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}\subseteq \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {b}}\right)}$ gilt.

Das Spektrum ist genau dann leer, wenn ${}R$ der Nullring ist.

Es ist ${}D({\mathfrak {a}})=\emptyset$ genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ nur nilpotente Elemente enthält.

Die offenen Mengen ${}D(f)$ , ${}f\in R$ , bilden eine Basis der Topologie.

Eine Familie von offenen Mengen ${}D({\mathfrak {a}}_{i})$ , ${}i\in I$ , ist genau dann eine Überdeckung von ${}X$ , wenn die Ideale ${}{\mathfrak {a}}_{i}$ zusammen das Einheitsideal erzeugen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

This article is issued from Wikiversity. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.