Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ offen und es sei ${\displaystyle {}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)}$ eine stetig differenzierbare ${\displaystyle {}k}$-Differentialform mit der Darstellung

${\displaystyle {}\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}\,}$

mit stetig differenzierbaren Funktionen

${\displaystyle f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .}$

Dann nennt man die ${\displaystyle {}(k+1)}$-Form

${\displaystyle {}d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,}$

die äußere Ableitung von ${\displaystyle {}\omega }$.