Differentialform/Mannigfaltigkeit/Äußere Ableitung/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ${}k\in \mathbb {N}$ und es sei

d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{k+1}(M),\,\omega \longmapsto d\omega ,

die äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

Die äußere Ableitung
$d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{0}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{1}(M),$

ist die Tangentialabbildung.

Die äußere Ableitung ist ${}\mathbb {R}$ -linear.

Für ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)$ und ${}\tau \in {\mathcal {E}}_{1}^{\ell }(M)$ gilt die Produktregel
${}d(\omega \wedge \tau )=(d\omega )\wedge \tau +(-1)^{k}\omega \wedge d\tau \,$

Für jede zweimal stetig differenzierbare Differentialform ${}\omega$ ist ${}d(d\omega )=0$ .

Es sei ${}L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Für eine stetig differenzierbare Abbildung
$\psi \colon L\longrightarrow M$

und jedes ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)$ gilt für die zurückgezogenen Differentialformen

${}d(\psi ^{*}\omega )=\psi ^{*}(d\omega )\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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