Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}D}$ eine kommutative Gruppe und ${\displaystyle {}R[D]}$ der zugehörige Gruppenring mit der in Beispiel beschriebenen Hopf-Struktur. Es sei ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative ${\displaystyle {}R}$-Algebra.

1. Es liege eine ${\displaystyle {}D}$-Graduierung von ${\displaystyle {}A}$ (als ${\displaystyle {}R}$-Algebra) vor. Zeige, dass durch

   ${\displaystyle A\longrightarrow R[D]\otimes _{R}A,\,a_{d}\longmapsto T^{d}\otimes a_{d},}$

   eine ${\displaystyle {}R}$-Kooperation der Hopf-Algebra ${\displaystyle {}R[D]}$ auf ${\displaystyle {}A}$ festgelegt wird.

2. Es liege eine ${\displaystyle {}R}$-Kooperation

   ${\displaystyle N\colon A\longrightarrow R[D]\otimes _{R}A}$

   von ${\displaystyle {}R[D]}$ auf ${\displaystyle {}A}$ vor. Zeige, dass durch

   ${\displaystyle {}A_{d}:={\left\{a\in A\mid T^{d}\otimes a=N(a)\right\}}\,}$

   eine ${\displaystyle {}D}$-Graduierung auf ${\displaystyle {}A}$ festgelegt wird.

3. Zeige, dass die Zuordnungen aus (1) und (2) invers zueinander sind.