Es sei ${\displaystyle {}(D,0,+)}$ eine kommutative Gruppe, ${\displaystyle {}K}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}K[D]}$ der zugehörige Gruppenring, also

${\displaystyle {}K[D]=\bigoplus _{d\in D}KX^{d}\,.}$

Darauf lässt sich die Struktur einer Hopf-Algebra erklären, indem man die Komultiplikation als

${\displaystyle \Delta \colon K[D]\longrightarrow K[D]\otimes _{K}K[D],\,X^{d}\longmapsto X^{d}\otimes X^{d},}$

die Koeinheit als

${\displaystyle \epsilon \colon K[D]\longrightarrow K,\,X^{d}\longmapsto X^{0}=1,}$

und das Koinverse als

${\displaystyle S\colon K[D]\longrightarrow K[D],\,X^{d}\longmapsto X^{-d},}$

${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismen gehören zu den Gruppenhomomorphismen ${\displaystyle {}D\longrightarrow D\times D}$, ${\displaystyle {}d\longmapsto (d,d)}$, ${\displaystyle {}D\rightarrow 0}$ und ${\displaystyle {}D\longrightarrow D}$, ${\displaystyle {}d\longmapsto -d}$, im Sinne von Fakt.