Kommutativer Ring/Hopf-Algebra/Definition

Kommutative Hopf-Algebra

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring. Eine kommutative ${}K$ -Algebra ${}H$ heißt Hopf-Algebra, wenn es fixierte ${}K$ -Algebrahomomorphismen (genannt Komultiplikation, Koeinheit und Koinverses )

\Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H,

\epsilon \colon H\longrightarrow K

und

S\colon H\longrightarrow H

gibt, derart, dass die Diagramme

{\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\!\!\Delta \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}H&{\stackrel {\Delta \otimes \operatorname {Id} _{H}}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}

{\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

und

{\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\epsilon \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\cdot S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\K&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

kommutieren.

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