Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$.

Dann ist die Determinante

multilinear.

D.h., dass für jedes ${\displaystyle {}k\in {\{1,\ldots ,n\}}}$, für je ${\displaystyle {}n-1}$ Vektoren ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}}$ und für ${\displaystyle {}u,w\in K^{n}}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,}$

und für ${\displaystyle {}s\in K}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,}$

gilt.