Seien

${\displaystyle M:={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,,M':={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\tilde {M}}:={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}},}$

wobei wir die Einträge und die Streichungsmatrizen analog bezeichnen. Insbesondere ist also ${\displaystyle {}u=\left(a_{k1},\,\ldots ,\,a_{kn}\right)}$ und ${\displaystyle {}w=\left(a_{k1}',\,\ldots ,\,a_{kn}'\right)}$. Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach ${\displaystyle {}n}$, wobei der Fall ${\displaystyle {}n=1}$ klar ist. Für ${\displaystyle {}i\neq k}$ ist ${\displaystyle {}{\tilde {a}}_{i1}=a_{i1}=a'_{i1}}$ und

${\displaystyle {}\det {\tilde {M}}_{i}=\det M_{i}+\det M'_{i}\,}$

nach Induktionsvoraussetzung. Für ${\displaystyle {}i=k}$ ist ${\displaystyle {}M_{k}=M_{k}'={\tilde {M}}_{k}}$ und es ist ${\displaystyle {}{\tilde {a}}_{k1}=a_{k1}+a'_{k1}}$. Insgesamt ergibt sich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\det {\tilde {M}}&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\tilde {a}}_{i1}\det {\tilde {M}}_{i}\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}(\det {M}_{i}+\det {M}'_{i})+(-1)^{k+1}(a_{k1}+a'_{k1})(\det {\tilde {M}}_{k})\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}'_{i}+(-1)^{k+1}a_{k1}\det M_{k}+(-1)^{k+1}a'_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1,\,i\neq k,\,}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}'_{i}+(-1)^{k+1}a'_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a'_{i1}\det {M}'_{i}\\&=\det M+\det M'.\end{aligned}}}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe Aufgabe.