Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. Zeige, dass die Determinante

${\displaystyle \operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,}$

für beliebiges ${\displaystyle {}k\in {\{1,\ldots ,n\}}}$ und beliebige ${\displaystyle {}n-1}$ Vektoren ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}}$, für ${\displaystyle {}u\in K^{n}}$ und für ${\displaystyle {}s\in K}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,}$