Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${\displaystyle {}n}$, wobei der Fall ${\displaystyle {}n=1}$ klar ist. Es sei

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,,}$

wobei wir die Einträge mit ${\displaystyle {}a_{ij}}$ bezeichnen, und

${\displaystyle {}M'={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,,}$

wobei wir die Einträge mit ${\displaystyle {}a'_{ij}}$ bezeichnen. Für ${\displaystyle {}i\neq k}$ ist ${\displaystyle {}a'_{ij}=a_{ij}}$ und nach Induktionsvoraussetzung ist

${\displaystyle {}\det M'_{i}=s\det M_{i}\,.}$

Für ${\displaystyle {}i=k}$ ist ${\displaystyle {}a'_{kj}=sa_{kj}}$ und

${\displaystyle {}M'_{k}=M_{k}\,.}$

Insgesamt ist somit

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\det M'&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{a'}_{i1}\det M'_{i}\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}{a'}_{i1}\det M'_{i}+(-1)^{k+1}{a'}_{k1}\det M'_{k}\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}{a}_{i1}s\det M_{i}+(-1)^{k+1}s{a}_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}s{a}_{i1}\det M_{i}\\&=s\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{a}_{i1}\det M_{i}\\&=s\det M.\end{aligned}}}$