Wir gehen von einer auflösenden Filtrierung

${\displaystyle {}\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G\,}$

aus, d.h., dass die ${\displaystyle {}G_{i}}$ Normalteiler in ${\displaystyle {}G_{i+1}}$ und die Restklassengruppen ${\displaystyle {}G_{i+1}/G_{i}}$ kommutativ sind. Die Untergruppe ${\displaystyle {}H\subseteq G}$ besitzt durch ${\displaystyle {}H_{i}=H\cap G_{i}}$ eine induzierte Filtrierung. Dabei liegt das kommutative Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}H\cap G_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H\cap G_{i+1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\G_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&G_{i+1}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

vor. Wir betrachten den Homomorphismus

${\displaystyle f\colon H\cap G_{i+1}\longrightarrow G_{i+1}/G_{i}.}$

Der Kern von ${\displaystyle {}f}$ ist offenbar ${\displaystyle {}H\cap G_{i}}$. Daher ist ${\displaystyle {}H_{i}}$ nach Fakt ein Normalteiler in ${\displaystyle {}H_{i+1}}$, und der Quotient ${\displaystyle {}H_{i+1}/H_{i}}$ ist nach Fakt eine Untergruppe von ${\displaystyle {}G_{i+1}/G_{i}}$ und damit kommutativ. Also bilden die ${\displaystyle {}H_{i}}$ eine auflösende Filtrierung von ${\displaystyle {}H}$.