Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

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Man nennt
${\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid F_{j}(P)=0{\text{ für alle }}j\in J\right\}}$

das durch die Familie definierte Nullstellengebilde.
Man nennt ${}M$ ${{}} M$ einen ${}R$ ${{}} R$ -Modul, wenn eine Operation
$R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$

festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):
1. ${}r(su)=(rs)u$ ,
2. ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$ ,
3. ${}(r+s)u=(ru)+(su)$ ,
4. ${}1u=u$ .
Zu ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$ nennt man ${}R(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ den Koordinatenring von ${}V$ .
Der Punkt ${}P$ heißt glatt, wenn
${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\neq 0$

gilt.
Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.
Der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besteht aus allen Geraden des ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ durch den Nullpunkt.

Zur gelösten Aufgabe

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