Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein kommutativer Ring. Auf dem Polynomring ${\displaystyle {}K[X]}$ kann man folgendermaßen eine Hopf-Struktur erklären. Die Komultiplikation wird durch

${\displaystyle \Delta \colon K[X]\longrightarrow K[X]\otimes _{K}K[X]\cong K[X,Y],\,X\longmapsto X\otimes 1+1\otimes X=X+Y,}$

erklärt. Die Koeinheit wird durch

${\displaystyle K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 0,}$

Koinverse ist durch

${\displaystyle K[X]\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto -X,}$

definiert. Nach Aufgabe ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der additiven Gruppe nennt.