Herleitung

In Kapitel über die Addition von Binärzahlen haben wir diese Beziehungen gelernt:

0 + 0 =  0
0 + 1 =  1
1 + 0 =  1
1 + 1 = 10

Wahrheitstabelle

Diese Beziehung können wir ohne Probleme in eine Wahrheitstabelle übertragen:

Σ ist dabei die erste Stelle des Resultats und C das Carry (also der Übertrag).

Da wir nun die Wahrheitstabelle haben, ist es auch spielend die Gleichung auszulesen:

${\displaystyle \Sigma =A{\overline {B}}\lor {\overline {A}}B}$

${\displaystyle C=AB}$

Realisierung

Die Realisierung als Schaltung sieht wie folgt aus:

Bei dieser Realisierung wurde genutzt, das ${\displaystyle A{\overline {B}}\lor {\overline {A}}B}$ sich als A XOR B realisieren lässt.

Blockschaltbild

Da diese Schaltung häufiger verwendet wird, gibt es dafür auch ein Blockschaltbild:

Im weiteren Verlauf des Buches werden wir in der Regel dieses Blockschaltbild einsetzen.

Herleitung

Für den Fall, dass es einen Übertrag gab, haben wir diese Beziehung ebenfalls angesehen:

0 + 0 + 0 =  0
0 + 0 + 1 =  1
0 + 1 + 0 =  1
0 + 1 + 1 = 10
1 + 0 + 0 =  1
1 + 0 + 1 = 10
1 + 1 + 0 = 10
1 + 1 + 1 = 11

Wahrheitstabelle

Auch diese können wir in eine Wahrheitstabelle übertragen:

Input			Output
${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle C_{i}}$	${\displaystyle \Sigma }$	${\displaystyle C_{o}}$
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

Wobei:

A, B und C_i die Eingänge sind

C_o und ${\displaystyle \Sigma }$ die Ausgänge sind

C_i bedeutet Carry in, also Übertragseingang

C_o bedeutet Carry out, also Übertragsausgang

Die Gleichung die wir auslesen können ist:

${\displaystyle \Sigma ={\overline {A}}\ {\overline {B}}C\lor {\overline {A}}B{\overline {C}}\lor A{\overline {B}}\ {\overline {C}}\lor ABC}$

${\displaystyle C_{out}=AB\lor C_{in}{\overline {A}}B\lor C_{in}A{\overline {B}}}$

Eine alternative Darstellung mit ${\displaystyle \oplus }$ für XOR kürzt die Funktion wesentlich:

${\displaystyle C_{out}=AB\lor (C_{in}(A\oplus B))}$

${\displaystyle S=(A\oplus B)\oplus C_{in}}$

Jedoch ist das nicht unbedingt lesbarer und die Umwandlung ist etwas aufwändig. Deshalb nur der Vollständigkeit wegen.

Realisierung

Wir können die Schaltung nun mit der Schaltgleichung von Oben realisieren:

Eine andere Realisierung die Sich ab und an findet, ist diese:

Blockschaltbild

Auch für den Volladdierer gibt es ein Blockschaltbild: