Die zyklische Gruppe der Ordnung ${\displaystyle {}n}$ lässt sich einfach als eine Untergruppe der ${\displaystyle {}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}}$ realisieren. Dazu sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine ${\displaystyle {}n}$-te komplexe primitive Einheitswurzel, beispielsweise ${\displaystyle {}\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}}$. Die von

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}\,}$

erzeugte Untergruppe, also

${\displaystyle {}{\left\{{\begin{pmatrix}\zeta ^{j}&0\\0&\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}\,,}$

ist eine zyklische Gruppe der Ordnung ${\displaystyle {}n}$. Diese Untergruppe wird mit ${\displaystyle {}Z_{n}}$ bezeichnet.