Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$.

1. Wir betrachten auf dem ${\displaystyle {}K^{n}}$ die Relation ${\displaystyle {}R}$, die durch ${\displaystyle {}vRw}$ gegeben ist, falls es eine lineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{n}}$ mit ${\displaystyle {}\varphi (v)=w}$ gibt. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, welche nicht?
2. Wir betrachten auf dem ${\displaystyle {}K^{n}}$ die Relation ${\displaystyle {}S}$, die durch ${\displaystyle {}vSw}$ gegeben ist, falls es eine bijektive lineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{n}}$ mit ${\displaystyle {}\varphi (v)=w}$ gibt. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, welche nicht?