Sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\neq 0}$ ein Primideal in ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}f\notin {\mathfrak {p}}}$. Dann ist ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ eine Einheit. Damit ist ${\displaystyle {}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)=0}$. Da der Restklassenring ${\displaystyle {}R/(f)}$ nach Fakt endlich ist, folgt sofort, dass ${\displaystyle {}f}$ nur in endlich vielen Primidealen enthalten ist, und nur für diese ist ${\displaystyle {}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)>0}$.