Sei zunächst ${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}}$ ein gebrochenes Ideal. Dann ist

${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}=R{\left({\frac {a_{1}}{r_{1}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{r_{n}}}\right)}\,.}$

Nach Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass ${\displaystyle {}r=r_{1}=\ldots =r_{n}}$ ist. Dann hat man mit dem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ eine Beschreibung der gewünschten Art. Ist umgekehrt ${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{r}}}$, so ist dies natürlich ein endlich erzeugter ${\displaystyle {}R}$-Untermodul von ${\displaystyle {}Q(R)}$.