Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$ eine endliche Galoiserweiterung mit zugehörigem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Die Einheiten bilden ein Algebraerzeugendensystem von ${\displaystyle {}R}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.
2. Für jeden Zahlbereich ${\displaystyle {}S\subset R}$ ist die Einheitengruppe ${\displaystyle {}S^{\times }}$ eine echte Teilmenge von ${\displaystyle {}R^{\times }}$.
3. Die Wirkung der Galoisgruppe auf ${\displaystyle {}R^{\times }}$ ist treu.