Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ eine Galoiserweiterung mit einer abelschen Galoisgruppe ${\displaystyle {}G}$ und es sei ${\displaystyle {}S}$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${\displaystyle {}N\subseteq G}$ eine Untergruppe mit der Restklassengruppe ${\displaystyle {}H=G/N}$ und ${\displaystyle {}R=S^{N}\subseteq K=L^{N}}$. Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ ein unverzweigtes Primideal von ${\displaystyle {}S}$ oberhalb von ${\displaystyle {}(p)}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap R}$. Zeige unter Verwendung des kommutativen Diagrammes

${\displaystyle {\begin{matrix}G_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\mathbb {Z} /(p))&\\\downarrow &&\downarrow &\\H_{\mathfrak {p}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {p}}){|}\mathbb {Z} /(p))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

aus Aufgabe, dass das Artinsymbol

${\displaystyle {}{\left(p,L/\mathbb {Q} \right)}}$

${\displaystyle {}{\left(p,K/\mathbb {Q} \right)}}$