Es seien ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {Z} }$ verschiedene quadratfreie Zahlen, sei

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subset L=\mathbb {Q} [{\sqrt {a}},{\sqrt {b}}]\,}$

die zugehörige Körpererweiterung vom Grad ${\displaystyle {}4}$ und sei

${\displaystyle {}T=\mathbb {Z} [{\sqrt {a}},{\sqrt {b}}]\subseteq S\,}$

der Ganzheitsring von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ in ${\displaystyle {}L}$, wobei für dieses Beispiel der Unterschied zwischen ${\displaystyle {}T}$ und ${\displaystyle {}S}$ irrelevant ist. Wir bestimmen die Faser über einem Primideal zu einer Primzahl ${\displaystyle {}p}$. Der beschreibende Ring ist

${\displaystyle {}T\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} [X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)\,.}$

Wir beschränken uns auf Primzahlen ${\displaystyle {}\geq 3}$, die weder ${\displaystyle {}a}$ noch ${\displaystyle {}b}$ teilen, was bedeutet, dass die zugehörigen Restklassen Einheiten in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ sind. Wenn ${\displaystyle {}a}$ (entsprechend für ${\displaystyle {}b}$) ein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ ist, sagen wir

${\displaystyle {}a=r^{2}=(-r)^{2}\,,}$

so ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)&=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/((X-r)(X+r),Y^{2}-b)\\&=(\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b))[X]/((X-r)(X+r))\\&=(\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b))\times (\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b)),\end{aligned}}}$

wobei die letzte Identifizierung durch ${\displaystyle {}X\mapsto (r,-r)}$ gegeben ist. Der Faserring ist also ein Produktring und kein Körper und ${\displaystyle {}(p)}$ zerfällt in ${\displaystyle {}T}$ und dann auch in ${\displaystyle {}S}$ in zumindest zwei Primideale.

Wenn hingegen sowohl ${\displaystyle {}a}$ als auch ${\displaystyle {}b}$ Nichtquadrate in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ sind, so ist das Produkt ${\displaystyle {}ab}$ ein Quadrat, sagen wir ${\displaystyle {}ab=s^{2}=(-s)^{2}}$. Dann gelten, da ja ${\displaystyle {}a}$ eine Einheit ist, in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]}$ die Idealgleichheiten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(X^{2}-a,Y^{2}-b)&=(X^{2}-a,aY^{2}-ab)\\&=(X^{2}-a,aY^{2}-s^{2})\\&=(X^{2}-a,X^{2}Y^{2}-s^{2})\\&=(X^{2}-a,(XY-s)(XY-s))\end{aligned}}}$

und damit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)&=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,(XY-s)(XY-s))\\&=(\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a))[Y]/(XY-s)(XY-s)\\&=(\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a))[Y]/{\left(Y-{\frac {s}{X}}\right)}{\left(Y-{\frac {s}{X}}\right)}\\&=(\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a))\times (\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a)),\end{aligned}}}$

es liegt also wieder ein Produktring vor.