Es sei ${\displaystyle {}R}$ die Menge aller nichtleeren endlichen Teilmengen von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$, die Elemente aus ${\displaystyle {}R}$ sind also Mengen der Form ${\displaystyle {}\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}}$ mit ${\displaystyle {}a_{i}\in \mathbb {Z} }$. Wir definieren auf ${\displaystyle {}R}$ zwei Verknüpfungen, nämlich die Addition

${\displaystyle {}\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}+\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}\}:={\left\{a_{i}+b_{j}\mid 1\leq i\leq r,\,1\leq j\leq s\right\}}\,}$

und die Multiplikation

${\displaystyle {}\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}\cdot \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}\}:={\left\{a_{i}\cdot b_{j}\mid 1\leq i\leq r,\,1\leq j\leq s\right\}}\,.}$

1. Berechne

   ${\displaystyle \{-2,3,7\}+\{1,5\}}$

2. Man gebe Beispiele für jeweils zweielementige Mengen ${\displaystyle {}A,B\in R}$ derart, dass das Produkt ${\displaystyle {}AB}$ einmal ${\displaystyle {}2}$, einmal ${\displaystyle {}3}$ und einmal ${\displaystyle {}4}$ Elemente besitzt.
3. Welche Eigenschaften eines kommutativen Halbringes erfüllt ${\displaystyle {}M}$?
4. Welche Eigenschaften eines kommutativen Ringes erfüllt ${\displaystyle {}M}$?
5. Gilt

   ${\displaystyle {}{\left(A+B\right)}^{2}\subseteq A^{2}+2AB+B^{2}\,?}$

6. Gilt

   ${\displaystyle {}{\left(A+B\right)}^{2}\supseteq A^{2}+2AB+B^{2}\,?}$