${\displaystyle {}\{-2,3,7\}+\{1,5\}=\{-1,3,4,8,12\}\,.}$

${\displaystyle {}A=B=\{0,1\}}$

${\displaystyle {}AB=\{0,1\}\,.}$

Bei ${\displaystyle {}A=\{0,1\}}$ und ${\displaystyle {}B=\{1,2\}}$ ist

${\displaystyle {}AB=\{0,1,2\}\,.}$

Bei ${\displaystyle {}A=\{1,2\}}$ und ${\displaystyle {}B=\{2,3\}}$ ist

${\displaystyle {}AB=\{2,3,4,6\}\,.}$

${\displaystyle {}A=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}}$

${\displaystyle {}B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}\}}$

${\displaystyle {}C=\{c_{1},c_{2},\ldots ,c_{t}\}}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}+\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}\}\right)}+\{c_{1},c_{2},\ldots ,c_{t}\}&={\left\{a_{i}+b_{j}\mid 1\leq i\leq r,\,1\leq j\leq s\right\}}+\{c_{1},c_{2},\ldots ,c_{t}\}\\&={\left\{a_{i}+b_{j}+c_{k}\mid 1\leq i\leq r,\,1\leq j\leq s,\,1\leq k\leq t\right\}}\,\end{aligned}}}$und das gleiche Ergebnis erhält man bei der anderen Klammerung. Somit ist die Addition assoziativ. Das gleiche Argument zeigt, dass auch die Multiplikation assoziativ ist. Wegen

${\displaystyle {}\{0\}+\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}=\{0+a_{1},0+a_{2},\ldots ,0+a_{r}\}=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}\,}$

ist ${\displaystyle {}\{0\}}$ das neutrale Element der Addition. Wegen

${\displaystyle {}\{1\}\cdot \{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}=\{1\cdot a_{1},1\cdot a_{2},\ldots ,1\cdot a_{r}\}=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}\,}$

ist ${\displaystyle {}\{1\}}$ das neutrale Element der Multiplikation. Das Distributivgesetz gilt hingegen nicht, beispielsweise ist für ${\displaystyle {}A=\{a\}}$, ${\displaystyle {}B=\{b\}}$ und ${\displaystyle {}C=\{c,d\}}$ einerseits

${\displaystyle {}(A+B)\cdot C=\{a+b\}\cdot \{c,d\}=\{ac+bc,ad+bd\}\,}$

und andererseits

${\displaystyle {}A\cdot C+B\cdot D=\{ac,ad\}+\{bc,bd\}=\{ac+bc,ac+bd,ad+bc,ad+bd\}\,,}$

also (bei so ziemlich jeder Wahl der Elemente) verschieden.

${\displaystyle {}{\left(A+B\right)}^{2}\subseteq A^{2}+2AB+B^{2}\,.}$

Ein Element aus

${\displaystyle {}{\left(A+B\right)}^{2}={\left(A+B\right)}{\left(A+B\right)}\,}$

hat die Form

${\displaystyle {}(a+b)(a'+b')=aa'+ab'+a'b+bb'\,}$

mit ${\displaystyle {}a,a'\in A}$ und ${\displaystyle {}b,b'\in B}$. Ein solches Element gehört zu

${\displaystyle A^{2}+AB+AB+B^{2}.}$

${\displaystyle {}{\left(A+B\right)}^{2}\supseteq A^{2}+2AB+B^{2}\,.}$

Sei dazu ${\displaystyle {}A=\{a\}}$ und ${\displaystyle {}B=\{b,c\}}$. Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(A+B)^{2}&=\{(a+b)(a+b),(a+b)(a+c),(a+c)(a+c)\}\\&=\{a^{2}+2ab+b^{2},a^{2}+ab+ac+bc,a^{2}+2ac+c^{2}\},\end{aligned}}}$

aber ${\displaystyle {}A^{2}+2AB+B^{2}}$ enthält auch das Element ${\displaystyle {}a^{2}+2ab+bc}$.