Es sei ${\displaystyle {}M\in \operatorname {Mat} _{s\times r}(\mathbb {Z} )}$ eine ${\displaystyle {}s\times r}$-Matrix mit ganzzahligen Koeffizienten. Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{r}\rightarrow \mathbb {Z} ^{s}}$ der zugehörige Gruppenhomomorphismus,

${\displaystyle \mathbb {C} [X_{1},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{r},X_{r}^{-1}]\longrightarrow \mathbb {C} [Y_{1},Y_{1}^{-1},\ldots ,Y_{s},Y_{s}^{-1}],\,X_{j}\longmapsto Y^{m_{j}},}$

der zugehörige ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus, wobei ${\displaystyle {}m_{j}}$ die ${\displaystyle {}j}$-te Spalte von ${\displaystyle {}M}$ ist und

${\displaystyle {\left(\mathbb {C} ^{\times }\right)}^{s}\longrightarrow {\left(\mathbb {C} ^{\times }\right)}^{r},\,(y_{1},\ldots ,y_{s})\longmapsto (y^{m_{1}},\ldots ,y^{m_{r}}),}$

die zugehörige multiplikative Abbildung. Zeige, dass die transponierte Matrix die natürliche Abbildung zwischen den Fundamentalgruppen beschreibt, dass also

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{s}\cong \pi {\left({\left(\mathbb {C} ^{\times }\right)}^{s},(1,\ldots ,1)\right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{r}\cong \pi {\left({\left(\mathbb {C} ^{\times }\right)}^{r},(1,\ldots ,1)\right)}}$

${\displaystyle {}{M^{\text{tr}}}}$