X^y/Definitionsbereich/Differenzierbar/Ableitung/Aufgabe/Lösung

Es ist
${}x^{y}=e^{y\ln x}\,,$

daher ist der Definitionsbereich ${}\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R}$ .
Die partiellen Ableitungen sind
${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {y}{x}}\cdot e^{(\ln x)\cdot y}={\frac {y}{x}}\cdot x^{y}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=(\ln x)\cdot e^{(\ln x)\cdot y}=(\ln x)\cdot x^{y}.$

Die Jacobi-Matrix ist also

$\left({\frac {y}{x}}\cdot x^{y},\,(\ln x)\cdot x^{y}\right).$
Da die partiellen Ableitungen überall existieren und stetig sind, ist die Funktion nach Fakt total differenzierbar.

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