Es sei ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ eine Basis von ${\displaystyle {}V}$. Aufgrund des Austauschsatzes findet man ${\displaystyle {}n-k}$ Vektoren aus der Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}}$, die zusammen mit den vorgegebenen ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{k}}$ eine Basis von ${\displaystyle {}V}$ bilden.