Beweis

Wir führen Induktion über ${\displaystyle {}k}$, also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei ${\displaystyle {}k=0}$ ist nichts zu zeigen. Sei die Aussage für ${\displaystyle {}k}$ schon bewiesen und seien ${\displaystyle {}k+1}$ linear unabhängige Vektoren

${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1}}$

gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die

(ebenfalls linear unabhängigen) Vektoren

${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{k}}$

gibt es eine Teilmenge ${\displaystyle {}J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ derart, dass die Familie

${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,}$

eine Basis von ${\displaystyle {}V}$ ist. Wir wollen auf diese Basis das Austauschlemma anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man

${\displaystyle {}u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}c_{j}u_{j}+\sum _{i\in I\setminus J}d_{i}b_{i}\,}$

schreiben.  Wären hierbei alle Koeffizienten ${\displaystyle {}d_{i}=0}$,  so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der ${\displaystyle {}u_{j}}$, ${\displaystyle {}j=1,\ldots ,k+1}$. Es gibt also ein ${\displaystyle {}i\in I\setminus J}$ mit ${\displaystyle {}d_{i}\neq 0}$. Wir setzen ${\displaystyle {}i_{k+1}:=i}$. Damit ist ${\displaystyle {}J'=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},i_{k+1}\}}$ eine ${\displaystyle {}(k+1)}$-elementige Teilmenge von ${\displaystyle {}{\{1,\ldots ,n\}}}$. Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor ${\displaystyle {}b_{i_{k+1}}}$ durch ${\displaystyle {}u_{k+1}}$ ersetzen und erhält die neue Basis

${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1},b_{i},i\in I\setminus J'.}$

  Der Zusatz folgt sofort, da eine ${\displaystyle {}k}$-elementige Teilmenge einer ${\displaystyle {}n}$-elementigen Menge vorliegt.