Beweis

Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen

${\displaystyle w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}}$

und ${\displaystyle {}s_{k}\neq 0}$ den Vektor ${\displaystyle {}v_{k}}$ als

${\displaystyle v_{k}={\frac {1}{s_{k}}}w-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}}$

schreiben. Sei nun ${\displaystyle {}u\in V}$ beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben

${\displaystyle {}{\begin{aligned}u&=\sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}t_{i}v_{i}+t_{k}v_{k}+\sum _{i=k+1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}t_{i}v_{i}+t_{k}{\left({\frac {1}{s_{k}}}w-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}\right)}+\sum _{i=k+1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}{\left(t_{i}-t_{k}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}\right)}v_{i}+{\frac {t_{k}}{s_{k}}}w+\sum _{i=k+1}^{n}{\left(t_{i}-t_{k}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}\right)}v_{i}.\end{aligned}}}$

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung ${\displaystyle {}k=1}$ an. Es sei

${\displaystyle t_{1}w+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=0}$

eine Darstellung der Null. Dann ist

${\displaystyle {}0=t_{1}w+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=t_{1}{\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\right)}+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=t_{1}s_{1}v_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(t_{1}s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\,.}$

Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere ${\displaystyle {}t_{1}s_{1}=0}$, und wegen ${\displaystyle {}s_{1}\neq 0}$ ergibt sich ${\displaystyle {}t_{1}=0}$. Deshalb ist ${\displaystyle {}\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=0}$ und daher gilt ${\displaystyle {}t_{i}=0}$ für alle ${\displaystyle {}i}$.