Bei ${\displaystyle {}P=Q}$ ist nichts zu zeigen, sei also ${\displaystyle {}P\neq Q}$. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle h\colon [0,\Vert {Q-P}\Vert ]\longrightarrow W,\,t\longmapsto \varphi {\left(P+t{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\right)}.}$

Da nach Voraussetzung ${\displaystyle {}P+t{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\in G}$ ist, ist dies eine differenzierbare Kurve in ${\displaystyle {}W}$. Daher gibt es nach der Mittelwertabschätzung für Kurven ein ${\displaystyle {}c\in [0,\Vert {Q-P}\Vert ]}$ mit

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {\varphi (P)-\varphi (Q)}\Vert &\leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {h'(c)}\Vert \\&=\Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {{\left(D\varphi \right)}_{P+c{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}}{\left({\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\right)}}\Vert \\&=\Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {\left(D\varphi \right)_{P+c{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}}}\Vert \cdot \Vert {\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\Vert \\&\leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {\left(D\varphi \right)_{P+c{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}}}\Vert \\&\leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot b.\end{aligned}}}$