Wir wollen Aussagen über die Determinante einer spaltenstochastischen ${\displaystyle {}d\times d}$-Matrix machen.

1. Zeige, dass für die Determinante einer spaltenstochastischen Matrix ${\displaystyle {}M}$ die Beziehung

   ${\displaystyle {}\vert {\det M}\vert \leq 1\,}$

   gilt.

2. Man gebe ein Beispiel für eine spaltenstochastische Matrix, die nicht die Einheitsmatrix sei, mit

   ${\displaystyle {}\det M=1\,}$

3. Es sei ${\displaystyle {}d\geq 2}$ und ${\displaystyle {}M}$ besitze zusätzlich die Eigenschaft, dass es eine Zeile mit ausschließlich positiven Einträgen gebe. Zeige

   ${\displaystyle {}\vert {\det M}\vert <1\,}$