Wir betrachten

${\displaystyle {}h(x):=f(x)-g(x)\,.}$

Diese Funktion ist nach Fakt wieder stetig und es ist

${\displaystyle {}h(a)=f(a)-g(a)\geq 0\,}$

und

${\displaystyle {}h(b)=f(b)-g(b)\leq 0\,.}$

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein ${\displaystyle {}c\in [a,b]}$ mit

${\displaystyle {}h(c)=0=f(c)-g(c)\,,}$

also ist

${\displaystyle {}f(c)=g(c)\,.}$