Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper ${\displaystyle {}R_{0}=K}$. Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-graduierter Modul über ${\displaystyle {}R}$ mit der Eigenschaft, dass die homogenen Stufen ${\displaystyle {}M_{n}}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}K}$-Vektorräume sind. Dann nennt man die Funktion

${\displaystyle H_{M}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto \dim _{K}{\left(M_{n}\right)},}$

die Hilbertfunktion zu ${\displaystyle {}M}$.