Zu einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}K}$ lässt sich die skalare Multiplikation auf dem ${\displaystyle {}K^{n}}$ bzw. auf dem Polynomring ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ folgendermaßen als eine Kooperation der Hopf-Algebra ${\displaystyle {}H=K[U,U^{-1}]}$ zur multiplikativen Gruppe realisieren: Man definiert die Kooperation durch

${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[U,U^{-1}]\otimes _{K}K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,X_{i}\longmapsto U\otimes X_{i}.}$

Ein ${\displaystyle {}K}$-Punkt von ${\displaystyle {}H\otimes _{K}R}$ ist dabei nach Fakt durch einen ${\displaystyle {}K}$-Punkt von ${\displaystyle {}H}$ und einen ${\displaystyle {}K}$-Punkt von ${\displaystyle {}R}$ gegeben, also durch eine Einheit ${\displaystyle {}t\in K^{\times }}$ und ein ${\displaystyle {}n}$-Tupel ${\displaystyle {}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}}$ festgelegt. Dieser wird unter der Kooperation wie gewünscht auf ${\displaystyle {}(ta_{1},\ldots ,ta_{n})}$ abgebildet.