Aufgrund der Kreisgleichung

${\displaystyle {}(\cos z)^{2}+(\sin z)^{2}=1\,}$

ist ${\displaystyle {}{\left(\sin {\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}=1}$, also ist ${\displaystyle {}\sin {\frac {\pi }{2}}=1}$ wegen der Überlegung im Beweis zu Fakt. Daraus folgen mit den Additionstheoremen die in (3) angegebenen Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus. Es genügt daher, die Aussagen für den Kosinus zu beweisen. Alle Aussagen folgen dann aus der Definition von ${\displaystyle {}\pi }$ und aus (3).