Wenn für ein ${\displaystyle {}k}$ der Rest ${\displaystyle {}r_{-k}=0}$ ist, so sind auch alle weiteren Reste und damit auch die Ziffern gleich ${\displaystyle {}0}$, so dass eine Periodenlänge ${\displaystyle {}\ell =1}$ vorliegt. Nehmen wir also an, dass alle Reste ${\displaystyle {}r_{-i}}$ von ${\displaystyle {}0}$ verschieden sind. Da die Reste

${\displaystyle r_{-1},r_{-2},r_{-3}}$

allesamt zwischen ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}b-1}$ liegen, muss es in ihnen irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir, dass

${\displaystyle {}r_{-k-\ell }=r_{-k}\,}$

gilt. Da ${\displaystyle {}z_{-i-1}}$ und ${\displaystyle {}r_{-i-1}}$ für alle ${\displaystyle {}i}$ allein von ${\displaystyle {}r_{-i}}$ abhängt, wiederholt sich dann die Restfolge und die Ziffernfolge

${\displaystyle r_{-k},r_{-k-1},\ldots ,r_{-k-\ell +1}\,\,{\text{ bzw. }}\,\,z_{-k},z_{-k-1},\ldots ,z_{-k-\ell +1}}$