Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv und es seien ${}z_{-i}$ , ${}i\in \mathbb {N}$ , und ${}r_{-i}$ , ${}i\in \mathbb {N}$ , die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

Die ${}r_{-i}$ liegen zwischen ${}0$ und ${}b-1$ .

Die ${}z_{-i}$ , ${}i\in \mathbb {N} _{+}$ , liegen zwischen ${}0$ und ${}9$ .

Wenn für ein ${}k$ der Rest ${}r_{-k}=0$ ist, so sind für alle ${}i>k$ auch ${}z_{-i}=0$ . und ${}r_{-i}=0$ .

Es gibt ein ${}k\in \mathbb {N}$ und ein ${}\ell \in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}\ell <b$ derart, dass für die Ziffern mit ${}i>k$ die Beziehung
${}z_{-i-\ell }=z_{-i}\,$

gilt.

Wenn man statt ${}a:b$ den Divisionsalgorithmus ${}ma:mb$ mit ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ ausführt, so ändert sich die Ziffernfolge nicht (wohl aber die Restefolge). Die Ziffernfolge ist also für die rationale Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ wohldefiniert.

Bei der Division von ${}a=\sum _{j=0}^{t}c_{j}10^{j}$ durch eine Zehnerpotenz ${}b=10^{s}$ ist
${}z_{0}=\sum _{j=s}^{t-s}c_{j}10^{j-s}\,$

(was bei $t<s$ als ${}0$ zu lesen ist) und

${}z_{-i}=c_{-i+s}\,$

(was für $-i<-s$ als $z_{-i}=0$ zu lesen ist). Die Ziffernfolge ${}z_{-i}$ ist also einfach eine verschobene Version der Zifferndarstellung des Dividenden.

Der Bruch ${}{\frac {a}{b}}$ ist genau dann ein Dezimalbruch, wenn ein Rest ${}r_{-i}$ gleich ${}0$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Ziffernfolge ${}z_{-i}$ ab einem ${}k$ konstant gleich ${}0$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

This article is issued from Wikiversity. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.