${\displaystyle {}r_{-i}\leq b-1\,}$

ist

${\displaystyle {}10\cdot r_{-i}\leq 10\cdot (b-1)\,.}$

Bei der Division von ${\displaystyle {}10\cdot r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}}$ durch ${\displaystyle {}b}$ ist somit der ganzzahlige Anteil ${\displaystyle {}z_{-i-1}}$ echt kleiner als ${\displaystyle {}10}$.

${\displaystyle {}k}$

${\displaystyle {}r_{-k}=0}$

${\displaystyle {}\ell =1}$

${\displaystyle {}r_{-i}}$

${\displaystyle {}0}$

${\displaystyle r_{-1},r_{-2},r_{-3}}$

allesamt zwischen ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}b-1}$ liegen, muss es in ihnen irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir, dass

${\displaystyle {}r_{-k-\ell }=r_{-k}\,}$

gilt. Da ${\displaystyle {}z_{-i-1}}$ und ${\displaystyle {}r_{-i-1}}$ allein von ${\displaystyle {}r_{-i}}$ abhängt, wiederholt sich dann die Restfolge und die Ziffernfolge

${\displaystyle r_{-k},r_{k-1},\ldots ,r_{-k-\ell +1}\,\,{\text{ bzw. }}\,\,z_{-k},z_{k-1},\ldots ,z_{-k-\ell +1}}$

unendlich oft periodisch.

${\displaystyle {}10\cdot r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}\,}$

ergibt sich direkt die entsprechende Division mit Rest

${\displaystyle {}10\cdot {\left(m\cdot r_{-i}\right)}=z_{-i-1}\cdot {\left(m\cdot b\right)}+{\left(m\cdot r_{-i-1}\right)}\,,}$

woraus die Behauptung folgt.

${\displaystyle {}\sum _{j=0}^{t}c_{j}10^{j}={\left(\sum _{j=s}^{t}c_{j}10^{j-s}\right)}10^{s}+\sum _{j=0}^{s-1}c_{j}10^{j}\,,}$

${\displaystyle {}10\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-1}c_{j}10^{j}\right)}=c_{s-1}10^{s}+10\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-2}c_{j}10^{j}\right)}\,,}$

${\displaystyle {}10^{2}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-2}c_{j}10^{j}\right)}=c_{s-2}10^{s}+10^{2}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-3}c_{j}10^{j}\right)}\,,}$

u.s.w., woraus die Aussagen ablesbar sind.

${\displaystyle {}b=10^{s}\,}$

eine Zehnerpotenz ist. Dann folgt die Aussage mit der abbrechenden Ziffernfolge aus (6).

Wenn ein ${\displaystyle {}r_{-k}=0}$, so sind nach (3) alle folgenden Ziffern gleich ${\displaystyle {}0}$. Wenn umgekehrt ${\displaystyle {}z_{-i}=0}$ für alle ${\displaystyle {}i\geq k}$ gilt, so wird die Rekursionsbedingung für ${\displaystyle {}i\geq k}$ zu

${\displaystyle {}10\cdot r_{-i}=r_{-i-1}\,.}$

Nehmen wir ${\displaystyle {}z_{-k}\neq 0}$ an. Dann ist

${\displaystyle {}r_{-k-1}=10r_{-k}\,,}$

${\displaystyle {}r_{-k-3}=10r_{-k-1}=10^{2}r_{-k}\,,}$

u.s.w., was zu einem Widerspruch führt, da nach Fakt die Zehnerpotenzen schließlich die Zahl ${\displaystyle {}b}$ überschreiten.

Wenn ein ${\displaystyle {}r_{-k}=0}$ ist, so folgt rekursiv aus

${\displaystyle {}10r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}\,}$

bzw.

${\displaystyle {}{\frac {r_{-i}}{b}}={\frac {z_{-i-1}}{10}}+{\frac {r_{-i-1}}{10\cdot b}}\,,}$

dass die Brüche

${\displaystyle {\frac {r_{-k}}{b}}=0,\,{\frac {r_{-k+1}}{b}},\,{\frac {r_{-k+2}}{b}},\ldots ,{\frac {r_{-1}}{b}}\,,{\frac {r_{0}}{b}}}$

Dezimalbrüche sind. Somit ist auch ${\displaystyle {}{\frac {a}{b}}}$ ein Dezimalbruch.