Beweis

Sei zunächst ${\displaystyle z_{0}}$ eine wesentliche Singularität von ${\displaystyle f}$, angenommen, es gäbe ein ${\displaystyle r>0}$, so dass ${\displaystyle f(B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\})}$ nicht dicht in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ liegt. Dann gibt es ein ${\displaystyle \epsilon >0}$ und ein ${\displaystyle w_{0}\in \mathbb {C} }$, so dass ${\displaystyle B_{\epsilon }(w_{0})}$ und ${\displaystyle f(B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\})}$ disjunkt sind. Betrachte auf ${\displaystyle B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$ die Funktion ${\displaystyle g(z):={\frac {1}{f(z)-w_{0}}}}$. Sie ist holomorph und durch ${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon }}}$ beschränkt. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ist also ${\displaystyle g}$ auf ganz ${\displaystyle B_{r}(z_{0})}$ holomorph fortsetzbar. Wegen ${\displaystyle g\neq 0}$ gibt es ein ${\displaystyle m\geq 0}$ und eine holomorphe Funktion ${\displaystyle g_{0}\colon B_{r}(z_{0})\to \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle g_{0}(z_{0})\neq 0}$, so dass

${\displaystyle g(z)=(z-z_{0})^{m}g_{0}(z),\qquad |z-z_{0}|<r.}$

Es folgt, dass

${\displaystyle f(z)=w_{0}+{\frac {1}{(z-z_{0})^{m}g_{0}(z)}}}$

und damit

${\displaystyle f(z)(z-z_{0})^{m}=w_{0}(z-z_{0})^{m}+{\frac {1}{g_{0}(z)}}}$

Da ${\displaystyle g_{0}(z_{0})\neq 0}$, ist ${\displaystyle {\frac {1}{g}}}$ auf einer Umgebung von ${\displaystyle z_{0}}$ holomorph. Daher ist ${\displaystyle f\cdot (\cdot -z_{0})^{m}}$ auf einer Umgebung von ${\displaystyle z_{0}}$ holomorph und damit hat ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle z_{0}}$ höchstens einen Pol ${\displaystyle m}$-ter Ordnung. Widerspruch.

Umgekehrt sei ${\displaystyle z_{0}}$ eine hebbare Singularität oder ein Pol von ${\displaystyle f}$. Ist ${\displaystyle z_{0}}$ eine hebbare Singularität, so gibt es eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle z_{0}}$, auf der ${\displaystyle f}$ beschränkt ist, gelte etwa ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ für ${\displaystyle z\in U\setminus \{z_{0}\}}$. Dann ist

${\displaystyle {\overline {f{\bigl (}U\setminus \{z_{0}\})}}\subseteq {\bar {B}}_{M}(0)\neq \mathbb {C} .}$

Ist ${\displaystyle z_{0}}$ ein Pol der Ordnung ${\displaystyle m}$ für ${\displaystyle f}$, so gibt es eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle z_{0}}$ und eine holomorphe Funktion ${\displaystyle g\colon U\to \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle g(z_{0})\neq 0}$ und ${\displaystyle f(z)=g(z)(z-z_{0})^{-m}}$. Wähle eine Umgebung ${\displaystyle \epsilon >0}$, so dass ${\displaystyle |g(z)|\geq {\frac {1}{2}}|g(z_{0})|}$ für ${\displaystyle |z-z_{0}|<\epsilon }$. Dann ist also

${\displaystyle |f(z)|=|g(z)||z-z_{0}|^{-m}\geq {\frac {1}{2}}|g(z_{0})|\cdot \epsilon ^{-m},\quad 0<|z-z_{0}|<\epsilon }$

Also ist ${\displaystyle 0\not \in {\overline {f(B_{\epsilon }(z_{0})\setminus \{z_{0}\})}}}$ und das zeigt die Behauptung.