Aussage

Es sei ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${\displaystyle z_{0}\in G}$ und ${\displaystyle f\colon G\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C} }$ holomorph. Genau dann ist ${\displaystyle f}$ holomorph nach ${\displaystyle z_{0}}$ fortsetzbar, wenn es eine Umgebung ${\displaystyle U\subseteq G}$ von ${\displaystyle z_{0}}$ gibt, so dass ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle U\setminus \{z_{0}\}}$ beschränkt ist.

Beweis

Sei ${\displaystyle r>0}$ so gewählt, dass ${\displaystyle {\bar {B}}_{r}(z_{0})\subseteq U}$ gilt und sei ${\displaystyle M}$ eine obere Schranke für ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle U}$.

Wir betrachten die Laurent-Reihe von ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle z_{0}}$. Es ist

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n},\qquad a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,dw}$

Abschätzen von ${\displaystyle a_{n}}$ nach oben liefert die sogenannten Cauchy-Abschätzungen, es ist

${\displaystyle {\begin{array}{rl}|a_{n}|&=\displaystyle \left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,dw\right|\\&\leq \displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {|f(w)|}{|w-z_{0}|^{n+1}}}\,|dw|\\&\leq \displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {M}{r^{n+1}}}\,|dw|\\&=\displaystyle {\frac {M}{r^{n}}}\\\end{array}}}$

Für ${\displaystyle n<0}$ folgt also

${\displaystyle |a_{n}|\leq {\frac {M}{r^{n}}}=Mr^{-n}\to 0,\quad r\to 0}$

Also ist ${\displaystyle a_{n}=0}$ für jedes ${\displaystyle n<0}$, das heißt, wir haben ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ und ${\displaystyle f(z_{0}):=a_{0}}$ ist eine holomorphe Fortsetzung von ${\displaystyle f}$ nach ${\displaystyle z_{0}}$.