Für jeden Punkt ${\displaystyle {}P\in M}$ ist ${\displaystyle {}T_{P}M\subseteq T_{P}N}$ ein Untervektorraum nach Fakt. Daher induziert das Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle _{P}}$ auf ${\displaystyle {}T_{P}N}$ ein Skalarprodukt auf ${\displaystyle {}T_{P}M}$. Für die stetige Differenzierbarkeit des Skalarproduktes sei

${\displaystyle \theta \colon W\longrightarrow W'}$

eine Karte von ${\displaystyle {}N}$ mit ${\displaystyle {}W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, die eine Bijektion ${\displaystyle {}\alpha }$ zwischen ${\displaystyle {}M\cap W}$ und ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{m}\times \{0\}\cap W'}$ induziere. Unter dieser Identifizierung ist ${\displaystyle {}T_{P}M\cong \mathbb {R} ^{m}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ mit den Basisvektoren ${\displaystyle {}e_{i}}$, ${\displaystyle {}i\leq m}$. Für Paare ${\displaystyle {}e_{i},e_{j}}$, ${\displaystyle {}1\leq i,j\leq m}$, von solchen Vektoren gelten dann für ${\displaystyle {}Q\in \mathbb {R} ^{m}\times \{0\}\cap W'}$ die Gleichheiten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}h_{ij}(Q)&:=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\\&=\left\langle T(\theta ^{-1})(e_{i}),T(\theta ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\theta ^{-1}(Q)}\\&=g_{ij}(Q),\end{aligned}}}$

da ja das Skalarprodukt auf ${\displaystyle {}T_{\alpha ^{-1}(Q)}M}$ einfach die Einschränkung des Skalarproduktes auf ${\displaystyle {}T_{\alpha ^{-1}(Q)}N}$ ist und da ${\displaystyle {}\alpha }$ die Einschränkung von ${\displaystyle {}\theta }$ ist.